Lode a Monty Hall, ideatore del “super tunnel” del paradosso

Si è spento a fine settembre, alla venerabile età di 96 anni, il famoso intrattenitore televisivo Monty Hall. Potremmo paragonarlo al nostro Mike Bongiorno, anche se non proprio esattamente. Il suo popolarissimo show “Let’s make a deal” (facciamo un baratto) iniziò nel 1963 sulla Nbc, poi ritrasmesso da altri canali, ed è continuato fino al 1976, per un totale di circa cinquemila trasmissioni, messe in onda anche dopo che era stato tolto dal programma. Era assai diverso da “Lascia o Raddoppia”. In “Let’s Make a Deal”, i partecipanti erano invitati a indossare vestiti e cappelli stravaganti e a mettere a disposizione di Monty Hall, per giocarselo, quanto avevano nel loro portafoglio, o nella loro borsetta. Il clou della trasmissione era un gioco di probabilità con una posta importante inventato prima dello show, ma poi da allora noto come il dilemma, o paradosso di Monty Hall. Molto usato ancor oggi e anche da me nei corsi di statistica e di scienze cognitive, lo presentai anni orsono in un mio saggio intitolato “L'illusione di sapere”.

Lo presentai poi al “Maurizio Costanzo Show” e mi attirai reazioni che spaziavano dall’ammirazione all’insulto, con la preponderanza dell’incredulità. Nei giorni seguenti allo show, alcune persone, riconoscendomi, mi fermarono chiedendomi di spiegare di nuovo il paradosso. Innumerevoli studenti hanno poi fatto lo stesso nei miei corsi e prevedo che continueranno a farlo. Così fecero insigni fisici alla SISSA di Trieste, scettici sulla mia spiegazione, fino a quando uno di loro programmò il gioco su un computer e lo giocarono molte, molte volte di seguito e dovettero ammettere che avevo ragione. Oggi esistono vari siti web nei quali lo si può giocare. Ecco in cosa consiste: ci sono tre scatole identiche, chiuse. Una di queste contiene del denaro, mentre le altre due sono vuote. Monty Hall sa quale contiene il denaro, ma il partecipante no. A suo piacere, il partecipante sceglie e indica una delle tre scatole. Monty Hall ne apre un’altra, vuota. Si noti bene, un’altra, non quella indicata dal partecipante e si noti che sarà sempre una scatola vuota. A quel punto, il partecipante è libero di insistere sulla scatola già indicata, o scegliere quella ancora chiusa. A questo punto, la scatola finalmente scelta viene aperta. Se è quella che contiene il denaro, il partecipante lo ha vinto. Se no, non vince niente.

Il nocciolo del gioco sta tutto nella seconda scelta: conviene insistere sulla prima scelta o cambiare e scegliere l’altra? Lasciamo perdere ogni considerazione soggettiva di preferenze, tipo “Mantengo la prima scelta, perché sono sempre coerente con la mie scelte”, o invece “Cambio perché a me piace a cambiare”. La domanda fondamentale è: che differenza c’è tra mantenere o invece cambiare? In altre parole: quale delle due scatole ancora chiuse ha una più alta probabilità di contenere il denaro? L’intuizione dominante è che non fa differenza: ciascuna ha una probabilità del 50 per cento. Il paradosso è che bisogna sempre cambiare. La scatola scelta inizialmente ha una probabilità su tre di contenere il denaro, mentre l’altra scatola ha due probabilità su tre. E’ proprio così, a dispetto dell’intuizione dominante e tanto, tanto ardua da modificare. Vi sono molti modi di dimostrare perché bisogna cambiare e perché le due probabilità sono differenti. Pensiamo alla strategia che Monty Hall deve seguire. Se, per caso, a sua insaputa, il concorrente ha inizialmente indicato la scatola contenente il denaro, allora conviene rimanere sulla propria scelta iniziale. Infatti, Monty Hall è libero di aprire una qualsiasi delle due scatole vuote. Questo avverrà una volta su tre. Se, però, il concorrente, sempre per caso e senza saperlo, ha indicato una scatola vuota, allora Monty Hall deve per forza aprire l’altra scatola vuota. Cambiare scatola porta a vincere il denaro. Questo, si badi bene, avverrà due volte su tre. Quindi cambiare scatola significa avere due probabilità su tre di vincere.

Il paradosso consiste nella diversità tra l’intuizione dominante, ma sbagliata (50/50) e le reali probabilità (un terzo/due terzi). Due aneddoti veri sono significativi. La nota giornalista scientifica americana Marilyn Vos Savant, il cui quoziente di intelligenza è 228, il più alto mai registrato, pubblicò un articolo su quello che poi divenne noto come paradosso di Monty Hall. Ricevette circa mille lettere di insulti, comprese quelle di insegnanti di matematica e di statistica. Un collega dell’insigne matematico di origine ungherese Paul Erdös gli presentò il dilemma e cerco’ di convincerlo che la probabilità non è 50/50. Erdös si infuriò e disse che non voleva più sentirne parlare. Qualche giorno dopo, calmatesi le acque, quel collega giocò al computer molte ripetizioni (proprio come i fisici della SISSA) e Erdös dovette convincersi della differenza un terzo/due terzi. Sbottò dicendo, va bene, va bene, ma il perché è misterioso. Invece non lo è. Un intero settore delle scienze cognitive studia le nostre spontanee illusioni probabilistiche. Tra tutti gli esperimenti, il paradosso di Monty Hall primeggia, per la sua ripetibilità e per la coriacea resistenza ad accettare la soluzione giusta. Io ho chiamato questi spontanei, coriacei errori cognitivi “tunnel della mente”. Il paradosso di Monty Hall lo ho chiamato un “super tunnel”. Non è certo frequente che un intrattenitore televisivo venga immortalato nelle scienze. Sia lode, quindi, alla memoria di Monty Hall.