La cicale e i numeri primi: il ruolo della matematica nella spiegazione scientifica

La matematica è utilizzata in biologia, come in ogni scienza, per ottenere modelli descrittivi e fare previsioni sperimentalmente verificabili. Tuttavia, come mi è stato recentemente fatto osservare, una cosa è utilizzare la matematica per poter studiare i fatti naturali, altra è trovare nella matematica stessa la spiegazione di un fenomeno. Esistono esempi di spiegazione genuinamente matematica che renda interamente conto, per esempio, di un fatto biologico, senza limitarsi a fatti particolarissimi e speciali? E in che senso è possibile trovare in essa spiegazioni di un fatto del mondo reale?  Credo che la trattazione di un esempio possa servire da risposta generale, anche per comprendere meglio il senso della stessa domanda. 

In molte parti dell'America del Nord, si assiste periodicamente ad una vera e propria invasione di cicale, appartenenti a varie specie del genere Magicicada. Questi insetti trascorrono quasi tutta la vita sotto terra allo stadio ninfale, nutrendosi dei fluidi che suggono dalle radici degli alberi decidui delle foreste negli Stati Uniti orientali. Dopo oltre dieci anni trascorsi in questo stadio, le cicale emergono dal suolo tutte insieme ed in numeri enormi. Gli adulti vivono e si accoppiano per poche settimane, per poi deporre le uova nel suolo e ricominciare il lunghissimo ciclo di sviluppo di una nuova generazione.

Ora, il genere Magicicada comprende numerose specie di cicala: tutte, senza eccezioni, emergono dal suolo dopo un periodo di 13 o di 17 anni, a seconda della specie. Considerato che la biologia di sviluppo di questo genere di insetti impone dei vincoli alla durata minima (una decina di anni) e massima (18 anni) della vita di un individuo e che dovendosi accoppiare, tutti gli individui devono emergere insieme, qual è la ragione per cui il lungo ciclo di sviluppo ha sempre una di queste durate, indipendentemente dalla specie considerata? Perché cioè proprio 13 e 17 anni, dati i vincoli suddetti?

La spiegazione risiede nel vantaggio di minimizzare la sincronizzazione del proprio ciclo vitale con quello di specie simili di cicala e con quello dei predatori. 13 e 17 sono numeri primi. Questo significa che ogni predatore con un ciclo di sviluppo pluriennale più breve di quello di una data specie di cicala non riuscirà mai a sincronizzare il proprio sviluppo con l’emersione delle cicale: qualsiasi sia la durata del ciclo vitale del predatore, purché sia superiore ad un anno, andrà sempre fuori sincronia con quello delle cicale, così che la probabilità che i predatori possano essere presenti in gran numero proprio per più di un ciclo riproduttivo di fila quando emergono le cicale è nulla.

La lunghezza del ciclo di sviluppo e riproduzione delle cicale, più lungo di quello di molti predatori, unito alla sua durata pari a un numero primo di anni, è quindi una strategia evolutiva che è stata premiata dalla selezione. In aggiunta, 13 e 17 sono anche numeri coprimi, cioè non hanno divisori interi comuni eccetto 1. Questo significa che anche i cicli di sviluppo di specie che vivono insieme, purché non abbiano la stessa durata, non saranno mai sincronizzati, in modo tale che all’emersione ciascuna specie possa trovare solo partner della propria specie e il massimo delle risorse ambientali necessarie (risorse come anche il semplice spazio, visto i numeri enormi di insetti che emergono in simultanea). In generale, quindi, coppie di specie di Magicicada dello stesso posto tenderanno ad avere cicli di durata diversa – una specie con ciclo di 13 anni ed una con 17.

Quanto osservato per le cicale, naturalmente, dispiega una modalità evolutiva generale, premiata quando si debba evitare la sincronizzazione fra fenomeni ciclici in biologia: la selezione premia periodi della durata corrispondente a un numero primo di unità temporali per quei cicli. In cosa questa spiegazione è diversa dalle comuni modellizzazioni matematiche o dall’analisi quantitativa di un fenomeno? 

La spiegazione che abbiamo della durata del ciclo delle Magicicada fa uso di fatti ecologici specifici, leggi biologiche generali e teoria dei numeri. Il punto che la differenzia da altri tipi di spiegazioni che fanno ricorso alla matematica è che in questo particolare tipo di spiegazioni il perché del fenomeno osservato risiede proprio nella sua componente matematica, che è essenziale ed ha potere esplicativo in sé stessa. In particolare, la componente matematica fornisce la ragione del perché è vantaggioso che la durata di un ciclo biologico abbia una certa durata, data la condizione che sia vantaggioso evitare la sincronia con altri cicli biologici. Senza questo argomento matematico, non esisterebbe una spiegazione possibile per il fenomeno osservato, a meno ovviamente di ricorrere ad argomenti ad-hoc; la biologia, in questo caso, non è spiegabile senza far ricorso alle proprietà dei numeri, cioè a un argomento a essa esterno.

Naturalmente, non sto dicendo che esista una matematica indipendentemente da noi, alla maniera sostenuta da Platone; sto semplicemente dicendo che le relazioni fra simboli matematici, che abbiamo modellato in modo via via più astratto per aiutarci proprio a spiegare il mondo, sono a volte tutto ciò che ci è necessario per comprendere la ragione di un fenomeno fisico. Con la meccanica quantistica si è arrivati al caso estremo in cui queste relazioni anticipano certe proprietà del mondo, e sono in grado di fornire precisissime previsioni e di essere utili, perfino senza che possiamo formarci un’idea pienamente intellegibile del mondo e dei fenomeni che descrivono, perché troppo lontani da ciò per la cui percezione mentale si è evoluta.

La matematica, a volte, non è solo un linguaggio in cui formulare la scienza, ma l’essenza stessa della “spiegazione” che si cerca, come in biologia, oppure perfino una guida sicura per muoverci attraverso ciò che non riusciamo a modellare se non come relazione fra simboli, come in certe parti della fisica quantistica.